習題四

1. 令 為具有均值 ，方差 的總體 的一個樣本，考慮以下 的估計量

， ， 。

1） 證明以上三個估計量都是 的無偏估計量；

2）誰是最有效的估計量？

2．設(shè) 為來自總體 的一個樣本， 為來自總體 的一個樣本，且兩個樣本相互獨立，證明

1) 是 的無偏估計；

2) 是 的無偏估計。

3． 對快艇的6次試驗中，得到下列最大速度（單位：米/秒）：

27，38，30，37，35，31．

求快艇的最大速度的數(shù)學期望與方差的無偏估計量，并計算對應于給定樣本觀測值的估計值。

4． 美國教師聯(lián)合會每年都對教師的工資做調(diào)查，1991-1992年教師的平均工資為$34,213。假設(shè)上述結(jié)果是容量為400的一個樣本的均值，并且1991-1992年教師工資的標準差為$4800。試求教師平均工資的99%的單側(cè)置信下限，并解釋其含義。

5． 某銀行原來平均貸款數(shù)額為60,000元，近來貸款利息發(fā)生變化。為了解這種變化對平均貸款數(shù) 的影響，從變化后的貸款中隨機抽取144個樣本，求得 ， （單位：千元），

（1）求平均貸款數(shù) 的95%的置信區(qū)間；

（2）不做任何計算，判斷置信度為99%的置信區(qū)間的寬度比（1）中的大還是小？為什么？

6． 設(shè)某種清漆的9個樣品，其干燥時間（以小時計）分別為：

6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0

設(shè)干燥時間總體服從正態(tài)分布 。在下列條件下，求 的置信度為0.95的置信區(qū)間：1）若由以往經(jīng)驗知 （小時），2）若 為未知。

7． 某啤酒公司制造的罐裝啤酒容量服從標準差為0.2盎司的正態(tài)分布。

1） 若要抽取一個容量為25的樣本，并且要求啤酒的平均容量的置信區(qū)間為（11.98, 12.12），求該置信區(qū)間的置信度。

2） 若公司經(jīng)理希望啤酒平均容量的99%的置信區(qū)間的總寬度不超過0.1，應抽取容量為多大的樣本？

8． 某工廠最近向它的客戶發(fā)出新形式的廣告，據(jù)說該廣告的有效率為0.1。為求其90%的置信區(qū)間，應選多大容量的樣本？設(shè)其置信區(qū)間的總寬度為0.04。若有效率為0.12，所需樣本容量又如何？

9．若想估計某個地區(qū)居民的平均家庭收入，已知該地區(qū)居民家庭收入的標準差為15000元，現(xiàn)要求估計的誤差不超過1000元，置信度為95%，應抽取多少個家庭做樣本？若已知該地區(qū)共有2000個家庭，則應抽取多少個家庭做樣本？