習(xí)題四

1. 令 為具有均值 ，方差 的總體 的一個(gè)樣本，考慮以下 的估計(jì)量

， ， 。

1） 證明以上三個(gè)估計(jì)量都是 的無(wú)偏估計(jì)量；

2）誰(shuí)是最有效的估計(jì)量？

2．設(shè) 為來(lái)自總體 的一個(gè)樣本， 為來(lái)自總體 的一個(gè)樣本，且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，證明

1) 是 的無(wú)偏估計(jì)；

2) 是 的無(wú)偏估計(jì)。

3． 對(duì)快艇的6次試驗(yàn)中，得到下列最大速度（單位：米/秒）：

27，38，30，37，35，31．

求快艇的最大速度的數(shù)學(xué)期望與方差的無(wú)偏估計(jì)量，并計(jì)算對(duì)應(yīng)于給定樣本觀測(cè)值的估計(jì)值。

4． 美國(guó)教師聯(lián)合會(huì)每年都對(duì)教師的工資做調(diào)查，1991-1992年教師的平均工資為$34,213。假設(shè)上述結(jié)果是容量為400的一個(gè)樣本的均值，并且1991-1992年教師工資的標(biāo)準(zhǔn)差為$4800。試求教師平均工資的99%的單側(cè)置信下限，并解釋其含義。

5． 某銀行原來(lái)平均貸款數(shù)額為60,000元，近來(lái)貸款利息發(fā)生變化。為了解這種變化對(duì)平均貸款數(shù) 的影響，從變化后的貸款中隨機(jī)抽取144個(gè)樣本，求得 ， （單位：千元），

（1）求平均貸款數(shù) 的95%的置信區(qū)間；

（2）不做任何計(jì)算，判斷置信度為99%的置信區(qū)間的寬度比（1）中的大還是??？為什么？

6． 設(shè)某種清漆的9個(gè)樣品，其干燥時(shí)間（以小時(shí)計(jì)）分別為：

6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0

設(shè)干燥時(shí)間總體服從正態(tài)分布 。在下列條件下，求 的置信度為0.95的置信區(qū)間：1）若由以往經(jīng)驗(yàn)知 （小時(shí)），2）若 為未知。

7． 某啤酒公司制造的罐裝啤酒容量服從標(biāo)準(zhǔn)差為0.2盎司的正態(tài)分布。

1） 若要抽取一個(gè)容量為25的樣本，并且要求啤酒的平均容量的置信區(qū)間為（11.98, 12.12），求該置信區(qū)間的置信度。

2） 若公司經(jīng)理希望啤酒平均容量的99%的置信區(qū)間的總寬度不超過(guò)0.1，應(yīng)抽取容量為多大的樣本？

8． 某工廠最近向它的客戶(hù)發(fā)出新形式的廣告，據(jù)說(shuō)該廣告的有效率為0.1。為求其90%的置信區(qū)間，應(yīng)選多大容量的樣本？設(shè)其置信區(qū)間的總寬度為0.04。若有效率為0.12，所需樣本容量又如何？

9．若想估計(jì)某個(gè)地區(qū)居民的平均家庭收入，已知該地區(qū)居民家庭收入的標(biāo)準(zhǔn)差為15000元，現(xiàn)要求估計(jì)的誤差不超過(guò)1000元，置信度為95%，應(yīng)抽取多少個(gè)家庭做樣本？若已知該地區(qū)共有2000個(gè)家庭，則應(yīng)抽取多少個(gè)家庭做樣本？